3.Каковы исторические и экономические причины возникновения сошной арифметики – древнерусского учения о дробях. Каковы ее особенности? Какие инструменты и приемы сошной арифметики использовались в XVI-XVII вв.?

Появлению «дощаного счета», вызванного сложными расчетами принятой во второй половине XVI в. единой налоговой поземельной единицы (большой сохи), предшествовала более простая система – счет на плодовых косточках. Об этом упоминает опричник немец Генрих Штаден: «В Русской земле счет ведут при помощи сливяных косточек».
Введение «большой сохи» должно было способствовать унификации налоговой системы. Для расчета налогов было необходимо вычислить коэффициенты с учетом качества земли и сословного положения владельцев. На их основании устанавливалась условная мера — соха.
В таких условиях перед соответствующими службами наиболее оптимальным было бы поставить задачу реализации проекта «Большой сохи» по типу минимакса: с наименьшими издержками достигнуть максимума возможного результата в налогообложении. Априори, например, можно было эту задачу решать путем разработки простого способа для приближенного подсчета налоговых сборов, в котором за счет ослабления точности результата достигался выигрыш во времени и затрате умственных усилий. При этом должна была существовать возможность быстрой и доступной проверки расчетов, чтобы сократить число апелляций к властям налогоплательщиков и их жалоб на недобросовестность счетчиков/писцов.Возможно, реконструированные М.А. Цайгером особенности русской сошной арифметики 16 века ценны в первую очередь тем,что дают ответ на этот важный вопрос.

1. Для участников 7-8 классов:

• Оцените практическую значимость рукописи XVII в. «Роспись сошному письму, как которая кость с которою костью кладется» [10]; опишите, где она использовалась?
• Проанализируйте содержание рукописи и переведите каждое из 21-го правила на язык современной математики. Проверьте математически эти правила на возможные ошибки, допущенные древними авторами.

Книги сошного письма сохранились в качестве рукописных текстов и каждый экземпляр уникален.
В ряде из них содержался специальный раздел,посвящённый так называемому "дощаному счёту",который является предшественником вычислительного сбора, известного как русские (конторские) счёты.

Первоначально “дощаный счет” был довольно громоздким прибором, содержащим четыре вычислительных поля, представлявших собой деревянные рамы с закрепленными прутьями/шнурами с нанизанными сч¨етными костяшками — для денежного счета, фискальных расчетов, вычисления мер ¨емкостей и весов. В отличие от современных сч¨етов, “дощаный сч¨ет” имел в нижней части прутья/шнуры для счета четями и третями с их двоичными долями. Несмотря на внимание историков науки к “дощаному сч¨ету”, он не до конца изучен. Дщицы счетные отличались от дощаного счета только тем,что состояли из счетного поля,разделенного 13 или 12 прямыми линиями,из которых шесть нижних переделаны пополам,перечнем.

В 16-17 веке в России для счёта использовали плодовые косточки (сливовые и вишнёвые) в россыпи,а также устройства, заключенные в деревянную раму с нанизанными счетными костяшками,то есть дощаный счёт. Окончательный переход в России на инструментальный счет типа дощаного счета произошел к середине 17 века.

• «счет костьми» был построен по десятичному принципу. Об этом говорит то, что на рисунках «дщиц счетных» счетные элементы (кости) изображены в количестве десяти (редко девяти) на каждом полном вычислительном уровне.
• в этом счете кости использовались в россыпи. поэтому они нарисованы, как правило, лежащими на линиях счета, а не нанизанными на них.
• ,в «дщицах счетных» употребляется как архаическая «буквенная» нумерация, так и современная (индо-арабская). Это показывает, что «дщицы счетные» могут восходить к XVI в., когда в русской арифметике на смену «буквенной» нумерации приходила современная система записи чисел.
• нижний отдел «дщиц счетных» подразделялся на две части для четвертных и третных дробей, построенных по принципу двоичности. Это говорило о том, что соответствующие двоичные дроби входили в «счет костьми».

В распоряжении древнерусской “бухгалтерии” были специальные переводные таблицы, поз-волявшие приводить дроби обоего рода (четвертные и третные. Р. С.) к “общему знаменателю”; замечательно, что им служил д е н е ж н ы й с ч ¨е т: оказывается любую дробь обоих видов можно выразить в виде определенной денежной суммы, после чего трети и четверти складываются или вычитаются проще простого”. Одна из таких формул,которая в древнерусских сошных дробях звучит так: "Четь да полчети да пол-полтрети да пол-полполтрети, итого треть и полтрети сохи."

Исконно русским руководством, излагавшим приемы измерения площадей, является «Книга сошного письма», самый древний экземпляр которой относится к 1629 году. Имеются сведения, что оригинал был составлен еще раньше, при Иване Грозном в 1556 году. При вычислении площадей фигур рекомендуется в этой книге разбивать их на квадраты, прямоугольники, треугольники, трапеции.
Со́шное письмо — на Руси XV—XVII веков описание земельных владений на селе и в городах Русского государства, кадастровая система, единицей которой служила соха; проводилось с целью последующего поземельного обложения, то есть сбора податей и отбывания повинностей.
Основной единицей обложения в Русском государстве XVI—XVII вв. была соха. В соху полагалось определенное количество четвертей земли. Следует сказать, что в Русском государстве различалось три основные категории земель: во-первых, частновладельческие служилые земли, т. е. зем­ли, принадлежавшие служилым людям по отечеству,— вотчины и поместья; во-вторых, тоже частновладельческие земли, по принадлежавшие духовным лицам и корпорациям, — земли церковные, монастырские, собственность отдельных епископских и митро­поличьих кафедр или патриарха; наконец, в-третьих, земли дворцовые и черные, которые обрабатывали черносошные крестьяне.
Каждая из этих категорий земель имела свой размер сохи. Земля по своему качеству разделялась на добрую, середнюю (среднюю) и худую. Для служилых земель в соху полагалось 800 четвертей доброй (т.е. хорошей, плодородной) земли в поле. В трех полях это составляло 2400 четвертей, или 1200 десятин. Средней земли в соху полагалось на служилых землях 1000 четвертей в поле, худой — 1200 четвертей в поле. В трех полях середней земли считалось 3000 и худой — 3600 четвертей, или 1500 и 1800 десятин.
Для земель монастырских, церковных, епископских в соху в одном поле полагалось 600 четвертей доброй земли, 700 середней, 800 худой и 900 «добре худой». «Книга сошного письма 7137 года» о последнем виде земель говорит: «А которая земля добре худа, бесплодна — 900 четвертей».
Землю измеряли в четвертях, десятинах и их частях, а результат переводили в сохи или её части. Но соха не имела постоянный размер, а зависела от качества земли: 1 соха = 800 четвертям хорошей, 1000 четвертям средней и 1200 четвертям плохой земли. Наряду с сохой в качестве окладной единицы применялась выть(составляла 12 четвертей хорошей, 14 –средней и 16 – плохой земли). При этом существовал принцип «одабривания» определённое количество четвертей средней и плохой земли приравнивалось к соответствующему количеству хорошей земли. Сохи, четверти, трети и выти делились на части, кратные 2 и3 и назывались соответственно «пол»
«треть»
«четверть»
«полчетверти»
«полтрети»
«полполчетверти» .и т.д.. Действия над такими дробями приводились к действиям с целыми числами.

Сошное письмо изложено в рукописи "О земном же верстании, как землю верстать"
в которой описаны правила нахождения площадей простых земельных участков (семь задач)

• Задача 1 – простейшая (вычислялась площадь прямоугольника со сторонами 40 и 53 1\3

сажен). Её решали разбиением на квадраты со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника и находили сумму площадей этих квадратов и площади прямоугольника – остатка, выражая её как часть площади квадрата.

• Задача 2 поле имело форму трапеции (равнобедренной), а его площадь найдена как произведение полусуммы оснований на боковую сторону - «хобот». В рукописи – ошибка, в других более поздних списках она исправлена.
• Задача 3 и 4 находили площадь четырёхугольника. Для вычисления площади в задаче 3 поле разбивали на 3 треугольника и четырёхугольник, который считали равнобедренной трапецией. Площадь четырёхугольника находили аналогично предыдущей задаче, а площадь треугольника путём умножения половины одной стороны на другую. Ясно, что такой способ применим только к фигурам, приближенным к прямоугольному треугольнику. В задаче 4 рисунок к ней и условие не совпадали, но основная идея такова – разбиение фигуры на 4 треугольника (прямоугольных).
• Задача 5 вычислялась площадь пятиугольного поля разбиением его на 6 треугольников, а рисунок опять не соответствовал условию.
• Задача 6 – вычисление площади трапеции, разбитой на 2 треугольника и прямоугольник.
• Задача 7 поле имело форму четырёхугольника, сходного с задачей 3, но его площадь найдена иначе (сумма площадей 3 треугольников и четырёхугольника с равными противоположными сторонами). Задача интересна тем, что содержит вычисления с целыми и именованными числами, отличающимися от современной только формой записи.

Такие способы сложились в процессе длительной землемерной практики.

В книге "Сошного письма" рассматриваются способы вычисления площадей земельных участков различных форм: треугольного поля,поля в виде равнобедренной трапеции,полей в виде четырёхугольников неправильной формы. Лишь в 17 веке появились правильные способы определения площадей треугольников и трапеций (с умножением на высоту),разбиение на квадраты.Для упрощения вычислений площадей,производилась замена фигур на равновеликие . А при вычислении площади круга выполнялась замена на описанный около круга квадрат (прямоугольник) или площадь круга принимали равной площади квадрата того же периметра. Но при этом получали разные погрешности (до 20-30%)
В рукописях начала 17 века мы встречаем такие задачи:
Хошь узнати промежь какими местами, не ходя и не меревь, что будет промежь верст, или сажен, или аршин. И ты познавай: как ходил будто к Троице в Сергиев монастырь и тут 32 версты. Ходил же в Воскресенский монастырь, и тут будто 24 версты. Что будет промежь теми монастырями скажи, не меревь? И те числы с таких же чисел умножь. И те оба перечни сложи вместе и раздели на радикс [то есть извлекай квадратный корень]. И что из делу выдет, столько будет промежь теми местами верст". Приводим чертеж и вычисления: Ответ - 40.

По видимому, автор считает,что находится в вершине В прямоугольного треугольника АВС,имеющего катеты,равные 32 верстам и 24 верстам. Тогда расстояние между монастырями равно длине гипотенузы этого треугольника.По теореме Пифагора квадрат этой длины равен 32 во 2 степени + 24 во 2 степени= 1024+576=1600,но 1600= 40 во второй степени,а потому искомое расстояние равно 40 верстам.

В Древней Руси при вычислении площадей допускали еще одну грубейшую ошибку,полагая,что "фигуры с равными периметрами имеют равные площади".Это предположение неверно ни для одной фигуры,даже если они имеют равные стороны.Например, при равенстве сторон квадрата сторонам ромба площадь квадрата больше площади ромба,так как высота ромба короче его стороны.Докажем это.Пусть сторона квадрата и сторона ромба равны а.
Возьмем квадрат и равносторонний треугольник с равными периметрами.
Как видно,площади не равны,следовательно,нельзя делать вывод о равенстве площадей фигур с равными периметрами.